Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在CB上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为E．
（1）求证：DE∥OA；
（2）若AB=10，tan∠DEO=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据AB与⊙O相切，AC是⊙O的切线，结合等腰三角形的性质判断出AO⊥CD，根据直径所对的圆周角是90°，判断出ED⊥CD，得出DE∥OA；
（2）由DE∥OA，得到∠AOC=∠DEO，求得tan∠AOC=2，得到AC=2OC，设⊙O的半径为r，通过△BDO∽△ABC，得到$\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{OC}$=2，于是得到BC=2BD=20-4r，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，CO是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线，
又∵AB与⊙O相切，
∴OC=OD，且AO为∠CBA的角平分线，
∴AO⊥CD，
又∵CE是⊙O的直径，且C是⊙O上一点，
∴DE⊥CD，
∴DE∥OA；

（2）解：∵DE∥OA，
∴∠AOC=∠DEO，
∵tan∠DEO=2，
∴tan∠AOC=2，
∴AC=2OC，
设⊙O的半径为r，
∴OD=OC=r，AC=AD=2r，BD=10-2r，
∵∠ACB=∠BDO=90°∠B=∠B，
∴△BDO∽△ABC，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{OC}$=2，
∴BC=2BD=20-4r，
∵AC²+BC²=AB²，
∴（2r）²+（20-4r）²=10²，
解得：r=3，r=5（不合题意，舍去）．
∴⊙O的半径为3．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．