Question

7．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动．连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的AC边上时，求t的值；
（2）在移动的过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动的过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作出辅助线，计算出HC=5，即可；
（2）分情况讨论．先分成0≤t≤5和5＜t≤10两种，每一种又要按边分情况讨论分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ．即可；
（3）由△PQE为直角三角形，所以按直角顶点分三种情况，再利用相似，找出相等关系，求解即可．

解答 解：（1）作DH⊥EF于H．如图1，

在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}$=10
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°
∴∠F=45°
∴HE=HF=$\frac{1}{2}$EF=5
∴t=5  即t=5s时，点D在AC边上．
（2）①当0≤t≤5，即直角边DE与AC相交于Q点时，
由题意知：AP=CE=CQ=t
∴AQ=8-t
（ⅰ）当AP=AQ时，t=8-t   
解得t=4
（ⅱ）当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，
则AM=QM=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$（8-t）
经探索：△APM∽△ABC
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AM}{AC}$      
 即 $\frac{t}{10}=\frac{AM}{8}$
∴AM=$\frac{4}{5}$t，
∴$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{2}$（8-t） 
解得t=$\frac{40}{13}$，
（ⅲ）当QP=QA时，作QN⊥AP于N，
则AN=PN=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，
经探索：△AQN∽△ABC
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{AQ}{AB}$     即 $\frac{\frac{1}{2}t}{8}=\frac{8-t}{10}$∴t=$\frac{64}{13}$
②当5＜t≤10时，即直角边DF与AC相交于Q点时，
由题意知：AP=CE=t，CQ=CF=10-t，PB=10-t，AQ=t-2
（ⅰ） 当AP=AQ时，
∵t≠t-2
∴不存在
（ⅱ）当QA=QP时，作QG⊥AP于G，
则PG=AG=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t
经探索：△AQG∽△ABC
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AG}{AC}$    
即$\frac{t-2}{10}=\frac{\frac{1}{2}t}{8}$
∴t=$\frac{16}{3}$
（ⅲ）当PA=PQ时，作PI⊥AQ于I，
则AI=QI=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$（t-2）
经探索：△API∽△ABC
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AI}{AC}$  
即$\frac{t}{10}\frac{\frac{1}{2}（t-2）}{8}$
∴t=-$\frac{10}{3}$（舍去）
综上所述：当t=4，$\frac{40}{13}$，$\frac{64}{13}$，$\frac{16}{3}$时，△APQ是等腰三角形．
（3）①当∠PQE=90°时，作PH⊥AQ于H
∵∠ACB=90°，∠DEF=45°
∴∠CQE=45°
∴∠PQH=45°
∴PH=QH
∵AP=t
∴PH=$\frac{3}{5}$t，AH=$\frac{4}{5}$t，
又∵CQ=CE=t
∴$\frac{3}{5}$t=8-t-$\frac{4}{5}$t  
 解得t=$\frac{10}{3}$
②当∠PEQ=90°时，作PG⊥BC于G，
∵∠QEC=45°
∴∠PEG=45°
∴PG=GE
∵AP=t
∴PB=10-t
∴BG=$\frac{3}{5}$（10-t），PG=$\frac{4}{5}$（10-t）
∴$\frac{4}{5}$（10-t）=6-$\frac{3}{5}$（10-t）-t
解得t=20（不合题意，舍去）
③当∠QPE=90°时，作QM⊥AB于M，EN⊥AB于N，
∵AP=CE=CQ=t
∴PB=10-t，AQ=8-t，BE=6-t
∵△BNE∽△BCA
∴BN=$\frac{3}{5}$（6-t），NE=$\frac{4}{5}$（6-t），PN=10-t-$\frac{3}{5}$（6-t）
∵△AMQ∽△ACB
∴AM=$\frac{4}{5}$（8-t），QM=$\frac{3}{5}$（8-t），PM=t-$\frac{4}{5}$（8-t）
经探索：△PNE∽△QMP
∴$\frac{PN}{QM}=\frac{NE}{MP}$即$\frac{10-t-\frac{3}{5}（6-t）}{\frac{3}{5}（8-t）}=\frac{\frac{4}{5}（6-t）}{t-\frac{4}{5}（8-t）}$
t₁=4      t₂=$\frac{40}{3}$（舍去）
综上所述，存在$\frac{10}{3}$或4时，△PQE为直角三角形．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查等腰三角形和直角三角形的性质，分情况是解本题的关键．