如图1.矩形ABCD.AD＞AB＞$\frac{1}{2}$AC.P和Q两点分别从点A出发.点P沿着A-C-D的折线段以每秒2各单位长度运动.同时点Q沿着AD线段以每秒1各单位长度运动.AP的中垂线交AD于点M.设QM的长为y.运动时间为x.y与x的关系如图2所示:．(1)AB=3.AD=4,(2)求y与x的函数关系式.并写出x的取值范围,(3)求x为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图1，矩形ABCD，AD＞AB＞$\frac{1}{2}$AC，P和Q两点分别从点A出发，点P沿着A-C-D的折线段以每秒2各单位长度运动，同时点Q沿着AD线段以每秒1各单位长度运动，AP的中垂线交AD于点M，设QM的长为y，运动时间为x，y与x的关系如图2所示：．
（1）AB=3，AD=4；
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）求x为何值时，DQ=DP？

分析（1）如图1中，当点P运动到与点C重合时，AC=5，AQ=$\frac{5}{2}$，QM=$\frac{5}{8}$，利用△ANM∽△ADC解决问题．
（2）分三种情形：①0≤x$≤\frac{5}{2}$，②$\frac{5}{2}$＜x≤5-$\sqrt{5}$，③5-$\sqrt{5}$＜x≤4，分别进行计算即可．
（3）分两种情形讨论：①点P在AC上，②点P在CD上，分别想办法列出方程即可解决问题．

解答解：（1）如图1中，当点P运动到与点C重合时，AC=5，AQ=$\frac{5}{2}$，QM=$\frac{5}{8}$，
∵MN垂直平分AC，
∴AM=MC=$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{8}$=$\frac{25}{8}$，
在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，AM=$\frac{25}{8}$，AN=$\frac{5}{2}$，
∴MN=$\sqrt{A{M}^{2}-A{N}^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，AB=CD，∠D=90°
∵∠NAM=∠DAC，∠ANM=∠ADC=90°，
∴△ANM∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AD}=\frac{NM}{CD}$，
∴$\frac{\frac{25}{8}}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{AD}$=$\frac{\frac{15}{8}}{CD}$，
∴AD=4，CD=3，
∴AB=CD=3，
故答案分别为3，4．
（2）①当0≤x$≤\frac{5}{2}$时，由图象可知y=$\frac{1}{4}$x．
②如图2中，当点P与点Q重合时，在RT△PDQ中，AM=MP=x，DM=4-x，DP=8-2x，
∵MP²=DM²+DP²，
∴x²=（4-x）²+（8-2x）²，
∴x=5-$\sqrt{5}$（或5+$\sqrt{5}$舍弃）．
∴当$\frac{5}{2}$＜x≤5-$\sqrt{5}$时，Y=AM-AQ，
由△ANM∽△ADP得$\frac{AN}{AD}$=$\frac{AM}{AP}$，
∵AP=$\sqrt{A{D}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{16+（8-2t）^{2}}$，AN=$\frac{1}{2}AP$，AD=4，
∴AM=$\frac{1}{2}$x²-4x+10，
∴y=AM-AQ=$\frac{1}{2}$x²-4x+10-x=$\frac{1}{2}$x²-5x+10．
③当5-$\sqrt{5}$＜x≤4时，y=AQ-AM=x-（$\frac{1}{2}$x²-4x+10）=-$\frac{1}{2}$X²+5X-10．
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x}&{（0≤x≤\frac{5}{2}）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-5x+10}&{（\frac{5}{2}＜x≤5-\sqrt{5}）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+5x-10}&{（5-\sqrt{5}＜x≤4）}\end{array}\right.$．
（3）如图3中，DP=DQ，作DN⊥AC于N，
∵$\frac{1}{2}$•AC•DN=$\frac{1}{2}$•AD•DC，
∴DN=$\frac{AD•CD}{AC}$=$\frac{12}{5}$，AN=$\sqrt{A{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
在RT△DPN中，∵∠DNP=90°，DP=DQ=4-x，DN=$\frac{12}{5}$，
∴PN²=DP²-DN²=（4-x）²-（$\frac{12}{5}$）²，
又∵PN=AN-AP=$\frac{16}{5}$-2x，
∴（$\frac{16}{5}$-2x）²=（4-x）²-（$\frac{12}{5}$）²，
∴x=$\frac{8}{5}$（或0不合题意舍弃）．
当点P在CD上时，如果DQ=DP，则D、Q、P重合，DQ=DP=0不合题意．
∴x=$\frac{8}{5}$时，DQ=DP．