Question

6．已知直线l：y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，平移直线l交y=$\frac{k}{x}$于C、D两点，且CD=2AB，若AC=5，则k=16．

Answer 1

分析 先由直线l：y=-2x+2与x轴、y轴交于A，B两点，求出A（1，0），B（0，2），得出OA=1，OB=2，
由△AOB∽△CED，得出DE=4，CE=2，设D（a，b），则C（a+2，b-4），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ab=（a+2）（b-4），得出b=4+2a①，在RT△ACM中，根据勾股定理得出A（a+1）²+（b-4）²=5²，得出a²+b²+2a-8b=8②，把①代入②得到关于a的方程，解方程确定a的值，从而确定k的值．

解答 解：如图，∵直线l：y=-2x+2与x轴y轴交于A，B两点，
∴当x=0时，y=2；y=0时，-2x+2=0，x=1；
∴A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∵△AOB∽△CED，
∴$\frac{DE}{OB}$=$\frac{CE}{OA}$=$\frac{CD}{AB}$
∵CD=2AB，
∴DE=4，CE=2，
设D（a，b），则C（a+2，b-4），
∴ab=（a+2）（b-4），
化简得b=4+2a①，
在RT△ACM中，AM=a+2-1=a+1，CM=B-4，
∴AC²=（a+1）²+（b-4）²=5²，
化简得，a²+b²+2a-8b=8②，
把①代入②得，a²+（4+2a）²-2a+8（4+2a）=8，
整理得，5a²+2a-24=0，
解得a₁=2，a₂=-$\frac{12}{5}$（舍去），
∴b=4+2×2=8，
∴k=ab=2×8=16．
故答案为16．

点评 本题考查了一次函数的图象与几何变换，三角形相似的性质以及勾股定理的应用，反比例函数图象上点的坐标特征，求得C、D的坐标是解题的关键．