Question

12．若方程①x²+x-1=0的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1；反过来，若x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，则相应的一元二次方程为x²+x-1=0；②3x²-4x-7=0的两根为x₁，x₂．则x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{7}{3}$；反过来，若x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=$\frac{7}{3}$，则相应的一元二次方程为3x²-4x-7=0．
问题：
（1）若方程的两根为x₁=p，x₂=q，则相应的一元二次方程为x²-px+q=0；
（2）若方程的两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，则相应的一元二次方程可以为ax²-bx+c=0
（3）已知方程x²+mx-n=0（n≠0），求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程两根的倒数．

Answer 1

分析 （1）（2）利用根与系数的关系得出直接得出方程即可；
（3）先设方程x²+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x₁，x₂，得出x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．

解答 解：（1）若方程的两根为x₁=p，x₂=q，则相应的一元二次方程为x²-px+q=0；
（2）若方程的两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，则相应的一元二次方程可以为ax²-bx+c=0；
（3）设方程x²+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x₁，x₂，
x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，
因此这个一元二次方程是：x²+$\frac{m}{n}$x+$\frac{1}{n}$=0．

点评 此题考查了根与系数的关系．掌握根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$是解决问题的关键．