Question

8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90度，AB=AD=2，E是AD边上一点（点E不与A，D重合），BE的垂直平分线交边AB于M，交直线CD于N．设四边形ADNM的面积为S，则S的最大值是（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 连接ME、FN，证明出来△EBA≌△MNF，把需要解决的问题转化成解直角三角形的问题，利用勾股定理得到函数解析式，利用二次函数的最值问题即可求出．

解答 解：如图，连接ME，设MN交BE于P，则MB=ME，MN⊥BE．
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠FNM，即∠ABE=∠FNM
在△EBA与△MNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MFN}\\{AB=FN}\\{∠ABE=∠FNM}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△MNF（ASA），
∴MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，则由勾股定理得到：（2-AM）²=x²+AM²．
整理，得4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得AM=1-$\frac{1}{4}$x²．
∴梯形ADNM的面积S=$\frac{AM+DN}{2}$×AD=$\frac{AM+AF}{2}$×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-$\frac{1}{4}$x²）+x
=-$\frac{1}{2}$x²+x+2
即所求关系式为S=-$\frac{1}{2}$x²+x+2；
∵S=-$\frac{1}{2}$x²+x+2=-$\frac{1}{2}$（x²-2x+1）+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{5}{2}$，
∴四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是$\frac{5}{2}$．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理的运用，在解答此题时要连接ME，过N点作AB的垂线是解题的关键．