Question

2．操作：折叠纸片，并将折叠后的部分压平在纸片原来所在平面内．
研究一：
（1）将△ABC纸片沿直线MN折叠成图1的形状，则∠1、∠2与∠A之间的数量关系为∠1+∠2=2∠A（不需要说明理由）．
（2）将△ABC纸片沿直线MN折成图2的形状，则∠1、∠2和∠A之间存在怎样的数量关系？请试着找出来，并说明理由．
研究二：将四边形ABCD（AD与BC不平行）沿直线MN折叠成图3的形状，则∠1、∠2与∠A、∠B之间的数量关系是∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°（请将含∠1、∠2的项放在等式的左边，其余各项放在等式的右边），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）连接AA′构造等腰三角形，然后结合三角形的外角性质进行探讨证明；
（3）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨．

解答 解：（1）如图1，

由图形折叠的性质可知，∠CNA′=180°-2∠DNA′…①，∠BMA′=180°-2∠A′MN…②，
①+②得，∠BMA′+∠CNA′=360°-2（∠DNA′+∠A′MN）
即∠BMA′+∠CNA′=360°-2（180°-∠A），
故∠1+∠2=2∠A；
（2）∠2-∠1=2∠A．
证明如下：
如图2，

连接AA′构造等腰三角形，
∠BMA′=2∠MA'A，∠CNA'=2∠NA'A，
得∠2-∠1=2∠A，
（3）如图③，

由图形折叠的性质可知∠1=180°-2∠AMN，∠2=180°-2∠BNM，
两式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AMN+∠BNM）
即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），
所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

点评 此题考查三角形的内角和定理，注意此类一题多变的题型，基本思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理及其推论进行证明．