Question

11．已知：如图，直线AB∥CD，EF和AB、CD分别相交于M、N两点，射线MP、MQ、NP、NQ分别是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分线，MP、NP相交于点P，MQ和NQ相交于点Q，求证：四边形MPNQ是矩形．

Answer 1

分析 首先根据射线MP、MQ、NP、NQ分别是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分线得到∠1=$\frac{1}{2}$∠AMF，∠2=$\frac{1}{2}$∠MND，∠3=$\frac{1}{2}$∠CNM，∠4=$\frac{1}{2}$∠NMB，然后根据平行线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，从而判定四边形MPNQ是平行四边形，然后证得有一个角是直角后即可证得四边形MPNQ为矩形．

解答 证明：∵射线MP、MQ、NP、NQ分别是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠AMF，∠2=$\frac{1}{2}$∠MND，∠3=$\frac{1}{2}$∠CNM，∠4=$\frac{1}{2}$∠NMB，
∵AB∥CD，
∴∠AMF=∠MND，∠CNM=∠NMB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴MQ∥PN，MP∥NQ，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵∠1+∠4=$\frac{1}{2}$∠AMF+$\frac{1}{2}$∠NMB=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴四边形MPNQ为矩形．

点评 本题考查了矩形的判定及平行线的性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键．