Question

10．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+bm＜m（am+b）；④（a+c）²＜b²；⑤a＞1．其中正确的是（　　）

• A． ①⑤
• B． ①②⑤
• C． ②⑤
• D． ①③④

Answer 1

分析 先充分挖掘图象所给出的信息，包括对称轴、开口方向、与坐标轴的交点、顶点位置等，然后根据二次函数图象的性质解题．

解答 解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；

②∵对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$＞0，a＞0，-$\frac{b}{2a}$＜1，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；

③当x=1时，y₁=a+b+c；
而当x=m时，y=am²+bm+c，
所以a+b+c＞am²+bm+c，
故a+b＞am²+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．

④当x=1时，a+b+c=0；
当x=-1时，a-b+c＞0；
∴（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c）²-b²=0，
∴（a+c）²=b²，
故本选项错误；

⑤当x=-1时，a-b+c=2；
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+c=1，
∴a=1+（-c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤有2个．
故选：A．

点评 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-$\frac{b}{2a}$判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0，没有交点，b²-4ac＜0．