Question

2．如图，等腰Rt△BNF的直角边FN所在的直线过正方形ABCD的顶点C，且与AD的延长线交于G，BF、AD的延长线交于M，连接DF，CE∥BM交BN于E．
（1）求证：△BCE≌△CDF；
（2）求证：BM•BE=$\sqrt{2}$AB²；
（3）若F是BM中点，直接写出$\frac{FC}{CN}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质、平行线的性质得到CF=EB，∠FCD=∠EBC，利用SAS定理证明△BCE≌△CDF；
（2）证明△BDM∽△BEC，根据相似三角形的性质、正方形的性质计算；
（3）根据△BCE≌△CDF得到CE=CF，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵△BNF是等腰直角三角形，
∴NF=NB，∠NFB=∠NBF=45°，
∵CE∥BM，
∴∠NCE=∠NFB=45°，
同理，∠NEC=∠NBF=45°，
∴NC=NE，
∴CF=EB，
∵∠N=∠DCB=90°，
∴∠FCD=∠EBC，
在△BCE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=EB}\\{∠FCD=∠EBC}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF；

（2）证明：连接BD，
∵∠ABD=∠NBF=45°，
∴∠DBM=∠EBC=45°，又∠BDM=∠BEC=135°，
∴△BDM∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BM}{BC}$，
∴BM•BE=BD•BC=$\sqrt{2}$AB²；

（3）解：∵△ENC是等腰直角三角形，
∴$\frac{CE}{CN}$=$\sqrt{2}$，
∵△BCE≌△CDF，
∴CF=CE，
∴$\frac{FC}{CN}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．