Question

10．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．⊙M过A、B、C三点，P是抛物线上一点，连接PA，当PA与⊙M相切时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 连接AM，过M作MN⊥AB于M，过P作PH⊥x轴于H，由AP是⊙M的切线，得到AM⊥AP，根据相似三角形的性质得到$\frac{AN}{PH}=\frac{MN}{AH}$，于是得到结论．

解答 解：连接AM，过M作MN⊥AB于M，过P作PH⊥x轴于H，
∵AP是⊙M的切线，
∴AM⊥AP，
∴∠MAN+∠PAN=∠PAN+∠APH=90°，
∴∠MAN=∠APH，
∴△AMN∽△PHA，
∴$\frac{AN}{PH}=\frac{MN}{AH}$，
∵M（1，-1），
设P（m，m²-2m-3），
∴$\frac{2}{{m}^{2}-2m-3}$=$\frac{1}{m+1}$，
∴m=5，m=-1（舍去），
∴P（5，12）．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．