Question

12．已知在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），过点C作CE⊥BC于点C，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠ADE的度数．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（1）的条件下，ED与AC相交于点P，若AB=2，直接写出CP的最大值．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABD≌△ACE，进而得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，即可判断出△ADE是等腰直角三角形；
（2）直接根据题意画出图形，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出PC最大，即可得出AP最小，利用点到直线的距离最小，得出AC⊥DE时，AP最小，最后利用等腰直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接AE，
∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°．
∴∠2=45°．
∴∠B=∠2．
又∵AB=AC，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∴∠DAE=∠BAC=90°．
∴△DAE是等腰直角三角形．
∴∠ADE=∠3=45°．

（2）补全图形，如图2所示，
结论成立．
证明：
如图，连接AE，
∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠1=45°．
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°．
∴∠2=45°．
∴∠B=∠2．  
又∵AB=AC，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE． 
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE．
∴∠DAE=∠BAC=90°． 
∴△DAE是等腰直角三角形．
∴∠ADE=∠3=45°．  

（3）由（1）知，△ADE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2，
当AP最小时，CP最大，
即：DE⊥AC时，AP最小，
∵∠ADE=45°，∠ACB=45°，
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$，
在Rt△ADP中，AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=1，
∴CP=AC-AP=1． 
即：CP的最大值为1．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，极值的确定，解本题的关键是构造全等三角形，判断出△ADE是等腰直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．