Question

19．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展开后再过点B折叠矩形纸片，使按A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．
（1）连接AN，求证：△ABN是等边三角形；
（2）求AM、QN的长；
（3）P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形．
（2）首先根据∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根据AB=2，求出AM的大小即可；首先根据EF∥BC，QN是△MBG的中位线，可得QN=$\frac{1}{2}$BG；然后根据BG=BM=AB÷cos∠ABM=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求出QN的长度即可．
（3）根据∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等边三角形；点N是MG的中点，判断出BN⊥MG，即可求出BN的大小；然后根据E点和H点关于BM称可得PH=PE，因此P与Q重合时，PN+PH=PN+PE=EN，据此求出PN+PH的最小值是多少即可．

解答 （1）证明：如图，连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根据折叠的性质，可得
AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN为等边三角形．

（2）∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，
∴AM=AB•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，
∴QN=$\frac{1}{2}$BG；
∵BG=BM=AB÷cos∠ABM=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴QN=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（3）∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BMG=∠BNM-∠MBN=90°-30°=60°，
∴∠MBG=∠ABG-∠ABM=90°-30°=60°，
∴∠BGM=180°-60°-60°=60°，
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG为等边三角形，
∵点N是MG的中点，
∴BN⊥MG，
∴BN=BG•sin60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
根据条件易知E点和H点关于BM对称，∴PH=PE，
∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH=PN+PE=EN，
∵EN=$\sqrt{B{N}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴PN+PH=$\sqrt{3}$，
∴PN+PH的最小值是$\sqrt{3}$．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了折叠的性质和应用，以及余弦定理的应用，要熟练掌握．