Question

10．直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，一个圆与这个直角三角形的斜边相切，与两条直角边所在的直线相切，则这个圆的半径为$\frac{a+b-c}{2}$或$\frac{a+b+c}{2}$．

Answer 1

分析 分两种情形分别求解即可．当⊙O在△ABC内部时，设切点分别为E、F、D．由切线长定理可知，AE=AD，CF=CD，BE=BF，易知四边形BFOE是正方形，可得OE=BE=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{a+b-c}{2}$．当⊙O在△ABC外部时，同法可求．

解答 解：当⊙O在△ABC内部时，设切点分别为E、F、D．

由切线长定理可知，AE=AD，CF=CD，BE=BF，
易知四边形BFOE是正方形，
∴OE=BE=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{a+b-c}{2}$．
当⊙O在△ABC外部时，设切点为E、D、F．则四边形OEBF是正方形．

由切线长定理可知OE=BE=$\frac{AB+BC+AC}{2}$=$\frac{a+b+c}{2}$，
故答案为$\frac{a+b-c}{2}$或$\frac{a+b+c}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、切线长定理．正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．