题目内容

12．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②．设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）当t=3时，求△QMC的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析 （1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出关于t的比例式，求解即可；
（2）过点P作PD⊥BC于D，根据△CPD∽△CBA，列出关于t的比例式，表示出PD的长，再根据S△QMC=$\frac{1}{2}$QC•PD，进行计算即可；
（3）过点M作ME⊥BC的延长线于点E，根据△CPD∽△CBA，得出$PD=\frac{3}{5}（4-t）$，$CD=\frac{4}{5}（4-t）$，再根据△PDQ∽△QEM，得到$\frac{PD}{QE}=\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ，进而得到方程${（\frac{12}{5}-\frac{3}{5}t）^2}$=$（\frac{16}{5}-\frac{9}{5}t）（\frac{9}{5}+\frac{9}{5}t）$，求得$t=\frac{3}{2}$或t=0（舍去），即可得出当$t=\frac{3}{2}$时，PQ⊥MQ．

解答 解：（1）如图所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，
∴Rt△ABC中，AC=4，
若PQ∥AB，则有$\frac{CP}{PA}=\frac{CQ}{QB}$，
∵CQ=PA=t，CP=4-t，QB=5-t，
∴$\frac{4-t}{t}=\frac{t}{5-t}$，
即20-9t+t2=t2，
解得$t=\frac{20}{9}$，
当$t=\frac{20}{9}$时，PQ∥AB；  

（2）如图所示，过点P作PD⊥BC于点D，
∴∠PDC=∠A=90°，
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{PD}{BA}$，
当t=3时，CP=4-3=1，
∵BA=3，BC=5，
∴$\frac{1}{5}=\frac{PD}{3}$，
∴$PD=\frac{3}{5}$，
又∵CQ=3，PM∥BC，
∴${S_{△QMC}}=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{5}=\frac{9}{10}$；
   
（3）存在时刻$t=\frac{3}{2}$，使PQ⊥MQ，
理由如下：如图所示，过点M作ME⊥BC的延长线于点E，
∵△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{PD}{BA}=\frac{CD}{CA}$，
∵BA=3，CP=4-t，BC=5，CA=4，
∴$\frac{4-t}{5}=\frac{PD}{3}=\frac{CD}{4}$，
∴$PD=\frac{3}{5}（4-t）$，$CD=\frac{4}{5}（4-t）$．
∵PQ⊥MQ，
∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，
∴△PDQ∽△QEM，
∴$\frac{PD}{QE}=\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ．
∵$EM=PD=\frac{3}{5}（4-t）=\frac{12}{5}-\frac{3}{5}t$，
$DQ=CD-CQ=\frac{4}{5}（4-t）-t=\frac{16}{5}-\frac{9}{5}t$，
$QE=DE-DQ=5-[\frac{4}{5}（4-t）-t]=\frac{9}{5}+\frac{9}{5}t$，
∴${（\frac{12}{5}-\frac{3}{5}t）^2}$=$（\frac{16}{5}-\frac{9}{5}t）（\frac{9}{5}+\frac{9}{5}t）$，
即2t2-3t=0，
∴$t=\frac{3}{2}$或t=0（舍去），
∴当$t=\frac{3}{2}$时，PQ⊥MQ．

点评 此题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造相似三角形．

练习册系列答案
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