Question

3．如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16厘米，AC=12厘米，BC=20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA=AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{4}$；
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 （1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12-t，由AQ=AP，可得方程12-t=2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ=t，则AQ=12-t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{4}$，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12-t，
∵AQ=AP，
∴12-t=2t，
∴t=4．
∴t=4s时，AQ=AP．

（2）当Q在线段CA上时，设CQ=t，则AQ=12-t，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•AB•AQ=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$•AB•AC，
∴$\frac{1}{2}$×16×（12-t）=$\frac{1}{8}$×16×12，解得t=9．
∴t=9s时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的$\frac{1}{4}$．

（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ=t，AP=2t，则AQ=12-t，BP=16-2t，
∵AQ=$\frac{1}{4}$BP，
∴12-t=$\frac{1}{4}$（16-2t），解得t=16（不合题意舍弃）．
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ=t，则AQ=12-t，BP=2t-16，
∵AQ=$\frac{1}{4}$BP，
∴12-t=$\frac{1}{4}$（2t-16），解得t=$\frac{32}{3}$．
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
∵AQ=t-12，BP=2t-16，
∵AQ=$\frac{1}{4}$BP，
∴t-12=$\frac{1}{4}$（2t-16），解得t=16，
综上所述，t=$\frac{32}{3}$s或16s时，AQ=$\frac{1}{4}$BP．

点评 本题考查三角形综合题，三角形面积、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．