Question

3．如图，四边形ABCD为梯形，BCED为菱形，AB⊥AC，AB=AC．求∠ACD．

Answer 1

分析 AM⊥BC，DN⊥BC垂足分别为M、N，由AM=$\frac{1}{2}$BC，推出DN=$\frac{1}{2}$BD，推出∠DBN=30°，由此即可解决问题．

解答 解：如图作AM⊥BC，DN⊥BC垂足分别为M、N．
∵AB=AC，AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，BM=CM，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC，∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD∥BC，AM∥DN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∵∠AMN=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AM=DN=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形BCED是菱形，
∴BD=BC，
∴DN=$\frac{1}{2}$BD，∵∠DNB=90°，
∴∠DBN=30°，
∴∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠ACD=∠ACD-∠BCA=75°-45°=30°．

点评 本题考查菱形的性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是30°的证明，在直角三角形中如果斜边是直角边的2倍，那么直角边所对的角是30°，属于中考常考题型．