Question

11．已知关于x的方程（x-1）（x²-3x+m）=0，m为实数．
（1）当m=4时，求方程的根；
（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m的值；
（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把m=4代入方程，得出（x-1）（x²-3x+4）=0，那么x-1=0或x²-3x+4=0，分别求解即可；
（2）由于x-1=0时x₁=1，设方程x²-3x+m=0的两根为x₂，x₃，分x₂=1，与x₂=x₃两种情况进行讨论；
（3）设方程x²-3x+m=0的两根为x₂，x₃，由根与系数的关系得出x₂+x₃=3，x₂•x₃=m．根据方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，得出$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=9-4m≥0\\|{x_2}-{x_3}|＜1\end{array}\right.$，求解即可．

解答 解：（1）m=4时方程为（x-1）（x²-3x+4）=0，
得x-1=0或x²-3x+4=0，
由x-1=0得x=1，
由x²-3x+4=0得△=9-16=-7＜0，该方程无实数解，
故方程的实根为x=1；

（2）由x-1=0得x₁=1．
由x²-3x+m=0，得△=9-4m≥0，设方程两根为x₂，x₃，
若x₂=1，则1-3+m=0，得m=2，方程为x²-3x+2=0，解得得x₂=1，x₃=2符合题意；
若x₂=x₃时，△=9-4m=0，得$m=\frac{9}{4}$，方程为${x^2}-3x+\frac{9}{4}=0$，得${x_2}={x_3}=\frac{3}{2}$，符合题意．
综上知m=2或$m=\frac{9}{4}$；

（3）方程的三个实根满足x₁=1，
由x²-3x+m=0，得△=9-4m≥0，设方程两根为x₂，x₃，
则x₂+x₃=3，x₂•x₃=m，
方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，
则$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=9-4m≥0\\|{x_2}-{x_3}|＜1\end{array}\right.$，
由$|{x_2}-{x_3}|=\sqrt{{{（{{x_2}+{x_2}}）}^2}-4{x_2}{x_3}}=\sqrt{9-4m}＜1$，
得m＞2，
解得$2＜m≤\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．