Question

已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（3，0）、C（0，4），点D的坐标为D（-5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：
（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积？请在图中画出P的位置，并且直接写出此时P点的坐标；
（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求四边形DEPF的面积是否存在最小值？若存在，请求出此时DP的长度；若不存在，请说明理由．
注：第（3）问请用备用图解答．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据过对角线交点的直线平分矩形，可得P点坐标是AC的中点，根据中点的性质，可得P点坐标；
（2）根据相似三角形的性质，可得对应边的比成比例，根据比例的性质，可得答案；
（3）根据DF=DE最短，可得四边形DEPF面积最小，根据垂线段的长度最短，可得DP⊥AC，可得DP与AC的交点，可得P点坐标，根据两点间的距离，可得DP的长．

解答：解：（1）当点P运动到AC的中点时，直线DP平分矩形OABC的面积，P（

3

2

，2）；
（2）△DOM∽△ABC时，

DO

AB

=

OM

BC

，

5

4

=

OM

3

，OM=

15

4

，即M（0，

15

4

）；
△DOM∽△CBA时，

DO

CB

=

OM

BA

，

5

3

=

OM

4

，OM=

20

3

即M（0，

20

3

）；
（3）如图：

当DP⊥AC时，四边形DEPF的面积存在最小值，
AC的解析式为y=-

4

3

x+4，
DP⊥AC时，k_DP=

3

4

，
设DP的解析式为y=

3

4

x+b．
把D（-5，0）代入函数解析式y=

3

4

x+b，得

3

4

×（-5）+b=0．
解得b=

15

4

，
DP的解析式y=

3

4

x+

15

4

，
P点坐标是DP与AC的交点，得

y= 3 4 x+ 15 4 y=- 4 3 x+4

，
解得

x= 3 25 y= 384 100

，
p（

3

25

，

384

100

）．
DP=

( 3 25 +5)2+( 384 100 )2

=

262144+147456 10000

=

640

100

=

32

5

点评：本题考查了一次函数综合题，利用了矩形的性质：过矩形对角线的点的直线平分矩形，相似三角形的性质，一直角边的长一定，斜边长越短另一直角边越短，面积越小，计算量大要认真计算．