Question

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=AD，AD交BC于点P，∠CAD=30°，AC=6，求：
（1）∠BDC的度数，
（2）△ABD的周长．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可求得∠DAB=60°，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠CDA和∠ADB，可求得∠BDC的底度数；
（2）由条件可证明△ABD为等边三角形，可求得其周长．

解答：解：（1）∵∠CAD=30°，AC=AD，
∴∠CDA=∠DCA=

1

2

（180°-30°）=75°，
又∵∠BAC=90°，∠CAD=30°，
∴∠DAB=60°，且AB=AD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠BDC=∠CDA+∠ADB=75°+60°=135°；
（2）由（1）可知△ABD为等边三角形，
∴AD=AB=BD=AC=6，
∴△ABD的周长为18．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的判定和性质，由条件证明△ABD为等边三角形是解题的关键．