Question

如图，已知直线y=-

3

4

x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，点Q随点P的运动而运动，连结OQ，设OP=t．
（1）求点A，B的坐标．
（2）当OQ平分∠AOB时，求t的值．
（3）当△OAQ是等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）在y=-

3

4

x+3中分别令y=0、x=0可求得A、B两点的坐标；
（2）由条件可知OP=PQ=t，可表示出Q点的坐标，Q在直线上，代入直线解析式可求得t；
（3）分OQ=AQ、OA=AQ、OQ=OA三种情况，根据条件分别得到关于t的方程可求得t的值．

解答：解：（1）在y=-

3

4

x+3中令y=0，可解得x=4，令x=0可解得y=3，
则A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，3）；
（2）当OQ平分∠AOB时，则∠POQ=45°，
∴OP=PQ=t，
∴Q点坐标为（t，t），
又∵Q在直线y=-

3

4

x+3上，代入可得t=-

3

4

t+3，解得t=

12

7

，
即当OQ平分∠AOB时，t的值为

12

7

；
（3）当△AOQ为等腰三角形时，分三种情况：
①当OQ=AQ时，则可知OQ=BQ=AQ，即Q为AB的中点，
∵PQ⊥x轴，OB⊥x轴，
∴PQ∥OB，
∴P为OA中点，
∴OP=t=

1

2

OA=2；
②当OA=AQ时，AQ=4，此时AP=|t-4|，
在Rt△AOB中，可求得AB=5，
∵PQ∥OB，
∴

AP

OA

=

AQ

AB

，且AP=OA-OP，
∴

|t-4|

4

=

4

5

，解得t=

4

5

或

36

5

；
③当OQ=OA时，此时Q点只能在y轴左侧，不合题意，
综上可知当△OAQ为等腰三角形时，t的值为2或

4

5

或

36

5

．

点评：本题主要考查一次函数与坐标轴的交点及等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识的综合应用，其中（1）属于基础题目掌握方法即可，在（2）中用t表示出Q点的坐标是解题的关键，在（3）中结合图形分三种情况化动为静用t表示出线段的长度，得到关于t的方程是解题的关键．题目难度不大，属于基础知识的综合．