Question

20．如图，矩形ABCD中，AB=20，AD=25，矩形内有一点O，以O为圆心，5为半径画圆，与AD，CD都相切，点P是BC上一点，将△ABP沿着AP对折得到△AB′P，若AB′与⊙O相切于点B′．则BP的长度是12．

Answer 1

分析 连接OB′，作OH⊥BC于H，于是得到OH=DC-r=20-5=15，设BP=x，根据切线的性质得到∠OB′A=90°，由折叠的性质得到∠AB′P=∠B=90°，B′P=BP=x，推出O，B′，P共线，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：连接OB′，作OH⊥BC于H，
则OH=DC-r=20-5=15，
设BP=x，
∵AB′与⊙O相切于B′，
∴∠OB′A=90°，
由折叠的性质知：∠AB′P=∠B=90°，B′P=BP=x，
∴O，B′，P共线，
∴OP=OB′+B′P=x+5，
在Rt△OPH中，OH²+HP²=OP²，即15²+（20-x）²=（x+5）²，
解得：x=12，
∴BP=12，
故答案为12．

点评 此题考查的知识点是切线的性质、矩形的性质即折叠的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．