Question

13．一、阅读理解：
在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则a²+b²=c²；
（2）若∠C为锐角，则a²+b²与c²的关系为：a²+b²＞c²；
（3）若∠C为钝角，试推导a²+b²与c²的关系．
二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．

Answer 1

分析 一、（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）作AD⊥BC于D，则BD=BC-CD=a-CD，由勾股定理得出AB²-BD²=AD²，AC²-CD²=AD²，得出AB²-BD²=AC²-CD²，整理得出a²+b²=c²+2a•CD，即可得出结论；
（3）作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD，由勾股定理得出AD²=AB²=BD²，AD²=AC²-CD²，得出AB²-BD²=AC²-CD²，整理即可得出结论；
二、分两种情况：①当∠C为钝角时，由以上（3）得：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜c＜a+b，即可得出结果；②当∠B为钝角时，得：b-a＜c＜$\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}$，即可得出结果．

解答 一、解：（1）∵∠C为直角，BC=a，CA=b，AB=c，
∴a²+b²=c²；
（2）作AD⊥BC于D，如图1所示：
则BD=BC-CD=a-CD，
在△ABD中，AB²-BD²=AD²，
在△ACD中，AC²-CD²=AD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
∴c²-（a-CD）²=b²-CD²，
整理得：a²+b²=c²+2a•CD
∵a＞0，CD＞0，
∴a²+b²＞c²；
（3）作AD⊥BC于D，如图2所示：
则BD=BC+CD=a+CD，
在△ABD中，AD²=AB²-BD²，
在△ACD中，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
∴c²-（a+CD）²=b²-CD²，
整理得：a²+b²=c²-2a•CD，
∵a＞0，CD＞0，
∴a²+b²＜c²；
二、解：当∠C为钝角时，由以上（3）得：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＜c＜a+b，
即5＜c＜7；
当∠B为钝角时，得：b-a＜c＜$\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}$，
即1＜c＜$\sqrt{7}$；
综上所述：第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了勾股定理的综合运用、完全平方公式；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键．