如图所示.已知△ABC中.AB=2.D在AB边上移动.DE∥BC交AC于E.连CD．设S△ABC=S.S△DEC=S1．(1)当D为AB中点时.求S1:S的值,(2)若AD=x.$\frac{{S} {1}}{S}$=y.试用x的代数式表示y.并求x的取值范围,(3)是否存在点D.使得S1＞$\frac{1}{2}$S成立?若存在.求出点D的位置,若不存在.请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图所示，已知△ABC中，AB=2，D在AB边上移动（不与A、B重合），DE∥BC交AC于E，连CD．设S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．
（1）当D为AB中点时，求S₁：S的值；
（2）若AD=x，$\frac{{S}_{1}}{S}$=y，试用x的代数式表示y，并求x的取值范围；
（3）是否存在点D，使得S₁＞$\frac{1}{2}$S成立？若存在，求出点D的位置；若不存在，请说明理由．

分析（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，DE：BC=1：2，而高线的比也是1：2，则三角形的面积的比就可以求出；
（2）根据相似三角形的性质，可以得到底边DE、BC以及高线之间的关系，就可以求出面积的比；
（3）使得S₁＞$\frac{1}{2}$S成立，可以转化为函数值y的大小关系．

解答解：如图，

过A作AM⊥BC，交DE于点N，设AD=x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AN}{AM}=\frac{AD}{AB}=\frac{x}{2}$，
∴DE=$\frac{x}{2}$×BC，AN=$\frac{x}{2}$×AM，
（1）当D为AB中点时，DE是三角形ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，AN=$\frac{1}{2}$AM，
∵S_△ABC=S=$\frac{1}{2}$AM×BC，
∴S_△DEC=S1=$\frac{1}{2}$AN×DE，
∴$\frac{{S}_{1}}{S}=\frac{\frac{1}{2}AN×DE}{\frac{1}{2}AM×BC}=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AM×\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AM×BC}=\frac{1}{4}$；
（2）∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AN}{AM}=\frac{AD}{AB}=\frac{x}{2}$，
∴$\frac{NM}{AM}=\frac{2-x}{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{S}=\frac{\frac{1}{2}MN×DE}{\frac{1}{2}AM×BC}$=$\frac{DE}{BC}$×$\frac{NM}{AM}$=$\frac{x}{2}$×$\frac{2-x}{2}$=$\frac{{-x}^{2}+2x}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{x}{2}$（0＜x＜2），
（3）不存在点D，使S₁＞$\frac{1}{2}$S，
理由如下：
假设存在点D，使S₁＞$\frac{1}{2}$S，
∴$\frac{{S}_{1}}{S}＞\frac{1}{2}$，
∴y＞$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{-x}^{2}+2x}{4}＞\frac{1}{2}$，
∴（x-1）²＜-1，
而（x-1）²≥0，
∴x不存在；
不存在点D，使S₁＞$\frac{1}{2}$S，