Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于点D，点E在边AB上运动，过点E作EF∥BC与边AC交于点F，连结FD，以EF、FD为邻边作?EFDG，当?EFDG与△ABC重叠部分为△ABC的面积的$\frac{1}{3}$时，线段EF的长为6-2$\sqrt{3}$或3+$\sqrt{33}$．

Answer 1

分析 由FE与BC平行，得到△AFE与△形ABC相似，根据相似三角形的性质即可得到结论，注意对重叠部分形状进行分类讨论．

解答 解：∵AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=6，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×12×8=48，
∵?EFDG与△ABC重叠部分为△ABC的面积的$\frac{1}{3}$，
∴S_{四边形EFDG}=$\frac{1}{3}×$48=16，
设AD，EF交于H，
∵FE∥BC，
∴△AFE∽△ABC，
∴$\frac{EF}{AH}=\frac{BC}{AD}$=$\frac{12}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴AH=$\frac{2EF}{3}$，
∴HD=8-$\frac{2EF}{3}$，
①当重叠面积为平行四边形时（如图），
S_重叠=S_{四边形EFDG}=EF•DH=EF（8-$\frac{2EF}{3}$）=16，
∴EF=6-2$\sqrt{3}$（6+2$\sqrt{3}$不合题意，舍去），
②当重叠面积为梯形时（如图）
S_重叠=S_梯形EFDB=$\frac{（EF+BD）×HD}{2}$=16
解得EF=3+$\sqrt{33}$（3-$\sqrt{33}$不合题意，舍去）；
故答案为：6-2$\sqrt{3}$或3+$\sqrt{33}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．