Question

8．一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数，其中a，b两部分数位相同，若$\frac{a+b}{2}$正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，
例如：357满足$\frac{3+7}{2}$=5，233241满足$\frac{23+41}{2}$=32．
（1）写出一个三位平衡数和一个六位平衡数，并证明任意一个六位平衡数一定能被3整除；
（2）若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为3的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数．

Answer 1

分析 （1）根据题意举例得到三位平衡数及六位平衡数，并根据题意设出六位平衡数，分解后验证即可；
（2）根据题意表示出这个三位数即可．

解答 解：（1）三位平衡数：例如321，六位平衡数：例如183654．
若有一个六位平衡数，由于a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数，其中a，b两部分数位相同，若$\frac{a+b}{2}$正好为剩下的中间数．
设六位平衡数为1000a+$\frac{a+b}{2}$×100+b
=10000a+50a+50b+b
=1050a+51b
=3（350a+17b），
∵a、b都是两位整数，
∴六位数一定能被3整除；

（2）设这个三位数百位上的数为a．十位上的数为b．个位上的数为c．
由题意a+c=2b   ①，
10b+a-c=3n（n为整数）    ②，
①+②得到4a+6c=3n，
∴4a是3的倍数，
∵c是偶数，a+c=2b，
∴a是偶数，
∴a=6，
∴c=0时，b=3，
c=2时，b=4，
c=4时，b=5，
c=6时，b=6，
c=8时，b=7，
∴三位数为630，642，654，666，678．

点评 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．