Question

13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B=60°，②若∠B=60°，则△AEF是等边三角形，③若AE=AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE=AF，其中，结论正确的是①③④（只需填写正确结论的序号）．

Answer 1

分析 ①由等边三角形的性质得出∠EAF=60°，AE=AF，求出∠C=120°，由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，得出∠B=180°-∠C=60°，①正确；
②由平行四边形的性质得出∠D=∠B=60°，求出∠BAE=∠DAF=30°，得出∠EAF=120°-30°-30°=60°，但是AE不一定等于AF，②错误；
③由平行四边形的面积得出$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，得出BC=CD，证出平行四边形ABCD是菱形，③正确；
④由菱形的性质得出BC=CD，由面积得出$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，得出AE=AF，④正确；即可得出结论．

解答 解：①∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，AE=AF，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠C=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠C=∠BAD=120°，
∴∠B=180°-∠C=60°，故①正确；

②∵∠D=∠B=60°，
∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
但是AE不一定等于AF，故②错误；

③若AE=AF，则$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；

④若平行四边形ABCD是菱形，
则BC=CD，
∴$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$CD•AF，
∴AE=AF，故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质；熟练掌握等边三角形和菱形的判定与性质是解决问题的关键．