Question

17．二次函数y=x²-2x-c  的图象如图所示，A，B两点的纵坐标分别为-4，-3，且AB=$\sqrt{2}$．
（1）求A，B两点的坐标及二次函数的解析式；
（2）用配方法求该抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求直线MN的函数表达式．
（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象回答，当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AE⊥OD于E，BF⊥AE于F．设A（m，m²-2m-c），在Rt△ABF中，可得BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=1，推出B（m+1，m²-2m-c+1），把B点坐标代入y=x²-2x-c 得到m²-2m-c+1=（m+1）²-2（m+1）-c，解得m=1，即可解决问题．
（2）利用配方法解方程即可．
（3）如图2中，易知当M（1，0），N（0，-1）或M₁（-1，0），N₁（0，1）时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形
（4）如图3中，画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+n确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．

解答 解：（1）如图1中，作AE⊥OD于E，BF⊥AE于F．设A（m，m²-2m-c），

在Rt△ABF中，∵AB=$\sqrt{2}$，AF=1，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=1，
∴B（m+1，m²-2m-c+1），
把B点坐标代入y=x²-2x-c 得到m²-2m-c+1=（m+1）²-2（m+1）-c，
解得m=1，
∴A（1，-4），B（2，-3），
把A（1，-4）代入y=x²-2x-c 得到c=3，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3．

（2）对于抛物线y=x²-2x-3，令y=0，得到x²-2x-3=0，
∵x²-2x=3，
∴（x-1）²=4，
∴x-1=±2，
∴x=-1或3，
∴C（-1，0），D（3，0）．

（3）如图2中，

易知当M（1，0），N（0，-1）或M₁（-1，0），N₁（0，1）时，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形
∴直线MN的解析式为y=x+1或y=x-1．

（4）如图4中，

当直线y=x+n过点D时，把D（3，0）代入得：3+n=0，
n=-3，
当直线y=x+n过点C时，把C（-1，0）代入得：-1+n=0，
n=1，
∴当，b的取值范围是-3＜n＜1，
当直线y=x+n与翻折后的抛物线y=-（x-1）²+4只有一个公共点时，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{y=-（x-1）^{2}+4}\end{array}\right.$，消去y得到x²-x+n-3=0，
由题意△=0，可得n=$\frac{13}{4}$，
观察图象可知，n＞$\frac{13}{4}$时，直线y=x+n与此图象有两个公共点，
综上所述，当-3＜n＜1或n＞$\frac{13}{4}$时，直线y=x+n与此图象有两个公共点．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的应用、平行四边形的判定和性质、勾股定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．