Question

20．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥DC，AB=DC，E，F，M，N分别是AD，BC，BD，AC的中点．猜想EF与MN的关系，并证明．

Answer 1

分析 连接ME、MF、NE、NF，证出ME是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出ME=$\frac{1}{2}$AB，同理：MF=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，FN=$\frac{1}{2}$AB，证出ME=MF=EN=FN，得出四边形EMFN是菱形，由菱形的性质即可得出结论．

解答 解：EF与MN互相垂直且平分；理由如下：
连接ME、MF、NE、NF，如图所示：
∵E，M分别是AD，BD的中点，
∴ME是△ABD的中位线，
∴ME=$\frac{1}{2}$AB，
同理：MF=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，FN=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=DC，
∴ME=MF=EN=FN，
∴四边形EMFN是菱形，
∴EF与MN互相垂直且平分．

点评 本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形EMFN是菱形是解决问题的关键．