Question

20．如图1所示，在图中作出两条直线，就能使它们将圆面四等分．研究图1中的思想方法解决以下问题：
（1）如图2，M是正方形ABCD内一定点，请在图2中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，不必说明理由；
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点．如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过对图（1）的分析，根据中心对称图形性质，连接正方形对角线AB、CD，相较于点O，连接OM交正方形边于点E、F，过点O做EF的垂线，交正方形边于点G、H，则直线EF、GH即为所求．
（2）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分．利用全等三角形△ABP≌△DEP性质，证明S_△BPC=S_△EPC，利用面积分析，即可得出BQ=b．

解答 解：（1）通过对图（1）的分析，得出以下结论，
过中心对称图形的对称中心任何一条直线可以平分图形面积．
如下图：连接正方形对角线AB、CD，相较于点O，
连接OM交正方形边于点E、F，
过点O做EF的垂线，交正方形边于点G、H，
则直线EF、GH即为所求．



（2）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分．
如下图，连接BP并延长交CD的延长线于点E，

∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
在△ABP和△DEP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EDP\\;}\\{AP=DP}\\{∠APB=∠DPE}\end{array}\right.$，
△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
连接CP，
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S_△BPC=S_△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面积公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S_△CQP=S_△DEP=S_△ABP
∴S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP
即：S_{四边形ABQP}=S_{四边形CDPQ}，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．

点评 题目考查了圆及其它图形二等分面积，通过对图形性质的分析，考察学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力，题目整体较难，对学生整体能力要求较高．