Question

12．从-2，-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$，0，3，4这七个数中，随机取出一个数，记为k，那么k使关于x的函数y=kx²-6x+3与x轴有交点，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3个整数解的概率为$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 由使关于x的函数y=kx²-6x+3与x轴有交点，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3个整数解，可得出k的范围，再找出在该范围内数有几个，最后利用等可能概率公式求出结果．

解答 解：①当k≠0时，
∵关于x的函数y=kx²-6x+3与x轴有交点，
∴△=6²-4×k×3=36-12k≥0，解得k≤3，
关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$可变形为2＜x＜$\frac{1}{2}$k+6，
若其有且只有3个整数解，则必为3、4、5，
即5＜$\frac{1}{2}$k+6≤6，解得-2＜k≤0，
在-2，-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$，0，3，4这七个数中，满足-2＜k≤0且k≠0的有-$\frac{3}{2}，-1，-\frac{1}{2}$三个数；
②当k=0时，原函数为y=-6x+3与x轴有交点，
结合①可知k=0也符合条件．
故取出满足题中条件数的概率P=$\frac{4}{7}$．
故答案为：$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了解一元一次不等式组的整数解、根的判别式以及概率公式，解题的关键是根据使关于x的函数y=kx²-6x+3与x轴有交点，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞3x\\ x＜\frac{1}{2}k+6\end{array}$有且只有3个整数解，找出k的大致范围．