Question

14．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，若AC=40，BC=30，正方形EFPQ的一边QP在斜边AB上，C，F分别在AC、BC上，则该正方形的面积为$\frac{360000}{1369}$．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，交EF于T，设QE=z，可以证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求出QE的长，然后根据正方形的面积公式，即可求解．

解答 解：作CH⊥AB于H，交EF于T，设QE=z，
在直角△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=50．
∴AB•CH=AC•BC，
∴50×CH=40×30，
∴CH=24．
∵四边形EFPQ是正方形，
∴QP∥EF，TH=EF，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{CT}{CH}=\frac{EF}{AB}$，
∴$\frac{24-z}{24}$=$\frac{z}{50}$，
∴z=$\frac{600}{37}$，∴QE=$\frac{600}{37}$，
∴正方形EFPQ的面积=QE²=$\frac{360000}{1369}$．
故答案为：$\frac{360000}{1369}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，熟悉相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．