Question

5．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线AC=4$\sqrt{5}$，边OA=4．
（1）求C点的坐标；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的函数关系式；
（3）若点M是y轴上一点，点N是坐标平面内一点，问能否找到合适的点M和点N使以点M、A、D、N为顶点的四边形是菱形？如果能找到，请直接写出点M的坐标；如果找不到，请说明原因．

Answer 1

分析 （1）由四边形AOCB为矩形，得到∠AOC为直角，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OC的长，即可确定出C的坐标；
（2）根据矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，所以DE、AC互相垂直平分，得到AD=CD=AE=CE，设OD=x，则AD=CD=8-x，利用勾股定理在Rt△AOD中：AD²=OA²+OD²，即（8-x）²=x²+16，解得：x=3，从而确定D（3，0），E（5，4），利用待定系数法求直线DE的解析式，即可解答；
（3）设M（0，m），根据勾股定理可得AD=$\sqrt{0{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，分两种情况考虑：①当AD是菱形的一条边是，②当AD是菱形的对角线时，求出点M的坐标即可．

解答 解：（1）∵AC=4$\sqrt{5}$，边OA=4．
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∴C（8，0）．
（2）如图1所示，连接AD，CE，

∵矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，
∴DE、AC互相垂直平分，
∴AD=CD=AE=CE，
设OD=x，则AD=CD=8-x，
在Rt△AOD中：AD²=OA²+OD²，
即（8-x）²=x²+16，
解得：x=3，
∴OD=3，CD=AE=5，
∴D（3，0），E（5，4），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
将D、E坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=2x-6．
（3）如图2所示，

设M（0，m）
∵OA=4，OD=3，
∴AD=$\sqrt{0{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
①当AD是菱形的一条边是，AN=AD，
即|4-m|=5，
解得：m₁=9，m₂=-1，
∴M₁（0，9），M₂（0，-1）．
②当AD是菱形的对角线时，AM=DM，
即（4-m）²=m²+3²，
解得：m=$\frac{7}{8}$，
∴M₃（0，$\frac{7}{8}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．