Question

2．已知BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE，
求证：（1）弧AB=弧AF；
（2）AH•BC=2AF•BE．

Answer 1

分析 （1）等腰△ABE中，∠BAD=∠ABE；由同角的余角相等知，∠BAD=∠C，故有∠C=∠ABF．由圆周角定理知，$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$；
（2）由于∠EAH=∠AHB，可得出AE=EH=BE=$\frac{1}{2}$BH，易证得Rt△ABH∽Rt△ACB．则AH：AB=BH：BC，即AH•BC=2AB•BE，由于AB=AF，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AE=BE，
∴∠BAD=∠ABE，
∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠C=∠ABF，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$；

（2）∵∠C=∠ABF，
Rt△ABH∽Rt△ACB，
∴AH：BH=AB：BC，即AH•BC=AB•BH，
∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAH=∠AHB，
∴AE=EH=BE=$\frac{1}{2}$BH，
∴AH•BC=2AB•BE，
由（1）证得$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，
∴AB=AF，
∴AH•BC=2AF•BE．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．