Question

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线x=m（m＞0），直线x=n（n＞0）（m＜n）分别交线段BC于N点、H点，交抛物线于M点、Q点．当NH∥MQ时，求m+n的值．

Answer 1

分析 作QL⊥MN于点L，已知M和N的坐标分别是（m，m²-2m-3），（n，n²-2n-3），先证明QL=ML，即可列方程求得m、n的关系即可求解．

解答 解：在y=x²-2x-3中，令x=0，则y=-3，即C的坐标是（0，-3），OC=3，
在y=x²-2x-3中，令y=0，则x²-2x-3=0，解得：x=-1或3，
则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0），OB=3，
则OB=OC．
作QL⊥MN于点L．
由题意得M（m，m²-2m-3），Q（n，n²-2n-3）．
∵MQ∥BC，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠NMQ=∠CNM=∠OCB=45°，
∴QL=ML，
∴n-m=n²-2n-3-（m²-2m-3），
n-m=（n+m）（n-m）-2（n-m），
∵n-m≠0，
∴1=m+n-2，
则m+n=3．

点评 本题考查了二次函数与坐标轴的交点以及两直线平行的条件，根据平行条件得到n-m=n²-2n-3-（m²-2m-3）是关键．