Question

8．你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？以x²-2x-3=0为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为x²-2x=3，即x（x-2）=3．
第二步：构造一个长为x，宽为（x-2）的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图1所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．
第四步：计算大正方形面积用x表示为（2x-2）²．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程（2x-2）²=4×3+2²，两边开方可求得：x₁=3，x₂=-1．
（1）第四步中横线上应填入（2x-2）²；（2x-2）²=4×3+2²．
（2）请参考古人的思考过程，解方程x²-x-1=0．

Answer 1

分析 （1）根据题意先表示出大正方形的边长再根据正方形的面积公式即可得出大正方形面积；
根据题意先得出小正方形的边长，再根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，即可得出答案；
（2）先将原方程变形，构造出一个长为x，宽为（x-1）的长方形，长比宽大1，且面积为1，再用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，两边开方，即可求出方程的解．

解答 解：（1）∵大正方形的边长是[x+（x-2）]，
∴大正方形面积是：[x+（x-2）]²=（2x-2）²；
∵小正方形的边长是：[x+（x-2）]-2（x-2）=2，长方形的面积为3
又∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
∴（2x-2）²=4×3+2²=16；
故答案为：（2x-2）²；（2x-2）²=4×3+2²；

（2）第一步：将原方程变形为x²-x=1，即x（x-1）=1．
第二步：构造一个长为x，宽为（x-1）的长方形，长比宽大1，且面积为1．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．
第四步：计算大正方形面积用x表示为[x+（x+1）]²．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程[x+（x-1）]²=4×1+1²，两边开方可求得：x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．