Question

20．如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点B，C坐标，再用待定系数法求函数解析式；
（2）先求出BA=2，BC=3$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{2}$，然后分两种情况①由△ABC∽△PBQ，得到$\frac{BQ}{BP}=\frac{BC}{BA}$，求出BQ，②由△ABC∽△QBP得$\frac{BQ}{BP}=\frac{BA}{BC}$，求出BQ，即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
令y=0，得x=3，
∴B（3，0），
∵经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c
∴$\left\{\begin{array}{l}3=c\\ 0=9+3b+c\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=-4\\ c=3\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；
（2）由（1），得A（1，0），连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∵抛物线解析式为y=x²-4x+3；
∴P（2，-1），
∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴BA=2，BC=3$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{2}$，
当△ABC∽△PBQ时，
∴$\frac{BQ}{BP}=\frac{BC}{BA}$，
∴$\frac{BQ}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BQ=3，
∴Q（0，0），
当△ABC∽△QBP时，
∴$\frac{BQ}{BP}=\frac{BA}{BC}$，
∴$\frac{BQ}{\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}$，
∴BQ=$\frac{2}{3}$，
∴Q（$\frac{7}{3}$，0），
∴Q点的坐标为（0，0）或（$\frac{7}{3}$，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，解本题的关键是分两种情况求BQ，也是易错的地方．