Question

1．将一张长与宽之比为$\sqrt{2}$的矩形纸片ABCD进行如下操作：对折并沿折痕剪开，发现每一次所得到的两个矩形纸片长与宽之比都是$\sqrt{2}$（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．已知AB=1，则第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是$\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$；第2016次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是$\frac{{1+\sqrt{2}}}{{{2^{1007}}}}$．

Answer 1

分析 先求出矩形纸片的长，再根据矩形的周长公式分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．

解答 解：1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
对开次数：
第一次，周长为：2（1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$，
第二次，周长为：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$，
第三次，周长为：2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$$\sqrt{2}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
第四次，周长为：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$\sqrt{2}$）=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
第五次，周长为：2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$$\sqrt{2}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
…
∴第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
第2016次对开后所得标准纸的周长为$\frac{{1+\sqrt{2}}}{{{2^{1007}}}}$．
故答案为：$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$；$\frac{{1+\sqrt{2}}}{{{2^{1007}}}}$．

点评 此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．