Question

3．如图，D点在边CG上，四边形ABCD和CEFG均为正方形，H是AF的中点．求证：
（1）BG=DE；
（2）CH=$\frac{1}{2}$AF．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠BCD=∠DCE=90°，BC=DC，CG=CE，由SAS证明△BCG≌△DCE，得出对应边相等即可；
（2）连接AC、CF，由正方形的性质得出∠ACD=∠FCG=45°，证出△ACF是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG均为正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°，BC=DC，CG=CE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCD=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；
（2）连接AC、CF，如图所示：
∵四边形ABCD和CEFG均为正方形，
∴∠ACD=∠FCG=45°，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
即△ACF是直角三角形，
∵H是AF的中点，
∴CH=$\frac{1}{2}$AF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定由V型在，直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．