Question

13．在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，在△ABC外取一点E，使得∠EAB=∠ACB，AE=DC，并且线段ED与AB交于点F．求证：EF=DF．

Answer 1

分析 过点E作EI⊥AB，过点D作DH⊥AB于H，DF⊥BC于F，先证明△EAI≌△DCK，再证明△EFI≌△DFH，根据全等三角形的对应边相等即可解答．

解答 解：如图，过点E作EI⊥AB，过点D作DH⊥AB于H，DF⊥BC于F，

在△EAI和△DCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EIA=∠DKC=90°}\\{∠EAB=∠ACB}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△EAI≌△DCK（AAS），
∴EI=DK，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH=DK，
∴DH=EI，
在△EKI和△DKH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFI=∠DFH}\\{∠EIF=∠DHF=90°}\\{EI=DH}\end{array}\right.$，
∴△EFI≌△DFH（AAS），
∴EF=DF．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．