Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+n（m＜0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴正半轴交于点D，连接AD并延长交x轴于E，连AC、DC．S_△DEC：S_△AEC=3：4．
（1）求点E的坐标；
（2）△AEC能否为直角三角形？若能，求出此时抛物线的函数表达式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质得出EO：OF=3：1，进而得出EO的长即可得出答案；
（2）由题意可知，AE，AC不可能与x轴垂直，再得出△EFA∽△AFC，求出m的值，进而得出答案．

解答 解：（1）如图所示：设此抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴S_△DEC：S_△AEC=DO：AF=3：4，
∵DO∥AF，
∴△EDO∽△EAF，
∴EO：EF=DO：AF=3：4，
∴EO：OF=3：1，
由y=mx²-2mx+n（m＜0）得：A（1，n-m），D（0，n），
∴OF=1，
∴EO=3，
∴E（-3，0）；

（2）∵DO：AF=3：4，
∴$\frac{n}{n-m}$=$\frac{3}{4}$，
∴n=-3m，
∴y=mx²-2mx-3m=m（x²-2x-3）
=m（x-3）（x+1），
∴B（-1，0），C（3，0），A（1，-4m），
由题意可知，AE，AC不可能与x轴垂直，
∴若△AEC为直角三角形，则∠EAC=90°，
又∵AF⊥EC，可得△EFA∽△AFC，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{AF}{CF}$，即$\frac{4}{-4m}$=$\frac{-4m}{2}$，
∵m＜0，
∴m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二次函数解析式为：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x²+$\sqrt{2}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出n，m的关系是解题关键．