Question

6．如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=2，AD为中线．
（1）比较∠BAD和∠DAC的大小．
（2）求sin∠BAD．

Answer 1

分析 （1）要比较∠BAD和∠DAC的大小，只要比较它们的正弦值的大小即可，根据题目中的数据可以求得它们的正弦值，从而可以解答本题；
（2）根据题目中的数据可以求得DE和AD的长，从而可以求得sin∠BAD．

解答 解：（1）过点D做AB的垂线，垂足记为E，
则sin∠DAE=$\frac{DE}{AD}$，sin∠DAC=$\frac{CD}{AD}$，
∵BC=2，AD为中线，
∴BD=CD=1，
∵BD＞DE，
∴CD＞DE，
∴sin∠DAE＜sin∠DAC，
∴∠BAD＜∠DAC；

（2）∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=2，AD为中线，
∴BD=CD=1，AB=$\sqrt{13}$，
∴$\frac{BD•AC}{2}=\frac{AB•DE}{2}$，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}$，
解得，DE=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴sin∠BAD=$\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{3\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{130}}{130}$．

点评 本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．