Question

10．关于x的方程x²-2（k-1）x+k²-1=0的两个实数根的平方和等于16，k的值为-1．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系求得x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²-1，然后将其代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．

解答 解：∵关于x的方程x²-2（k-1）x+k²-1=0有两个实数根，
∴△=4（k-1）²-4（k²-1）≥0，
解得，k≤1．
设方程x²-2（k-1）x+k²-1=0两个实数根为x₁、x₂．则
x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（k-1）²-2（k²-1）=16，即k²-4k-5=0，
解得，k₁=-1，k₂=5（不合题意，舍去），
故答案是：-1．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．