Question

20．已知，如图等边三角形ABC和正方形BDEC的边长均为2，⊙O经过点A，D，E三点．
求：⊙O的半径．

Answer 1

分析 作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据其轴对称性，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得AH，DH的长，设圆的半径是r．在直角三角形BOH中，根据勾股定理列方程求解．

解答 解：
如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又∵DE是圆的弦，
∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，
∴AF=AB•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴OH=AF+FH-OA=$\sqrt{3}$+2-r．
在Rt△ODH中，OH²+DH²=OD²．
∴（2+$\sqrt{3}$-r）²+1²=r²．
解得r=2．
∴该圆的半径长为2．

点评 本题考查了垂径定理，等边三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理．该题的综合性比较强，需要学生对所学的知识有一个比较系统的掌握．