Question

14．如图所示，△ABC和△CDE是等边三角形，E是AC延长线上一点，M是AD的中点，N是BE的中点．试说明：△CMN是等边三角形．

Answer 1

分析 根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AM=BN；又△AMC≌△BNC，可得CM=CN，∠ACM=∠BCN，证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三角形．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，AM=BN；
∴AC=BC，∠CAD=∠CBE，
在△AMC和△BNC中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BN}\\{∠MAC=∠NBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△AMC≌△BNC（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN；
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM，
∠ACB=∠ACM-∠BCM，
∴∠NCM=∠ACB=60°，
∴△CMN是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度一般，熟练掌握等边三角形的性质是解答的关键．