Question

19．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+x+c与x轴交于A，B的两点，与y轴交于点C，顶点为P，其中点A的坐标是（1，0）．
（1）分别求出抛物线的对称轴和点B、C、P的坐标；
（2）画出这条抛物线；
（3）利用图象求一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+x+c=6的解．

Answer 1

分析 （1）先把A（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+x+c求出c=-$\frac{3}{2}$，得到抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，再解方程$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0可得到B点坐标为（-3，0），计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标为（0，-$\frac{3}{2}$）；然后把解析式配成顶点式，根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴和顶点P的坐标；
（2）利用描点法画二次函数的图象；
（3）画直线y=6，然后找出直线y=6与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+x+c的交点的坐标，则交点的横坐标即为一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+x+c=6的解．

解答 解：（1）把A（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+x+c得$\frac{1}{2}$+1+c=0，解得c=-$\frac{3}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0，解得x₁=-3，x₂=1，则B点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=y=-$\frac{3}{2}$，则C点坐标为（0，-$\frac{3}{2}$）；
因为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，
所以抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点P的坐标为（-1，-2）；
（2）如图，
（3）一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+x+c=6的解为x₁=-5，x₂=3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（3）的关键是找出直线y=6与抛物线的交点．