Question

5．李爷爷家有一块三角形的花圃，他准备将其分成面积相等的四个部分，分别种上四种不同的花，请你帮李爷爷设计方案．

（1）如图1是王明设计的方案，取其中一边的四等分点，将三角形分成四个面积相等的三角形，请你在图2中设计一种与王明不同的方案；
（2）如图3是李昊同学设计的方案，取三边的中点，然后依次连接，将原图形分成四个三角形，请你说出这种方案的合理性．

Answer 1

分析 （1）三角形的中线将三角形分割为两个面积相等的三角形，从而可进行分割；
（2）依据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行证明即可．

解答 解：（1）如图2所示：取三边的中点．

（2）合理：
理由：如图3所示：

∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是三角形的中线．
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
∴△ADE∽△ABC．
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=（\frac{DE}{BC}）^{2}=\frac{1}{4}$．
∴${S}_{△ADE}=\frac{1}{4}$S_△ABC．
同理：${S}_{△BDF}=\frac{1}{4}{S}_{△ABC}$，${S}_{△CEF}=\frac{1}{4}{S}_{△ABC}$．
∴${S}_{△DEF}=\frac{1}{4}{S}_{△ABC}$．
∴S_△ADE=S_△BDF=S_△CEF=S_△DEF．

点评 本题主要考查的是作图-应用与设计作图，证得△ADE∽△ABC，然后依据相似三角形的性质得到${S}_{△ADE}=\frac{1}{4}$S_△ABC是解题的关键．