Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE=CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 连接AD，由等腰直角三角形的性质得出AD=$\frac{1}{2}$BC=CD=BD，∠C=∠DAE=45°，由SAS证明证明△ADE≌△CDF，可得DF=DE，∠CDF=∠ADE，即可求得∠EDF=90°，即可得出结论．

解答 证明：连接AD，如图所示：
∵D是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=CD=BD，∠C=∠DAE=45°，∠ADC=90°，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠DAE=∠C}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．