Question

9．如图，已知等边三角形ABC，D为AC上一点，CD=CE，∠ACE=60°，延长BD交AE于F，连接CF．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若AF=CF，试猜想线段BF、AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）易证BC=AC，∠BCD=60°，即可证明△BCD≌△ACE，即可解题；
（2）易证BD为等边△ABC中AC边上的高，根据等边三角形三线合一性质可得∠ABD=∠DBC=30°，根据△BCD≌△ACE，可得∠DBC=∠CAE，即可求得∠BAF=90°，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质即可解题．

解答 解：（1）∵△ABC是等边△，
∴BC=AC，∠BCD=60°，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠BCD=∠ACE}\\{BC=AC}\end{array}\right.$．
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）BF=2AF，
理由：∵AF=CF，AB=BC，
∴BF⊥AC且平分AC，
∴BD为等边△ABC中AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAE=90°，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△BCD≌△ACE是解题的关键．