Question

4．如图，在△ABE中∠AEB=90°，AB=$\sqrt{26}$，以AB为边在△ABE的同侧作正方形ABCD，点O为AC与BD的交点，连接OE，OE=2$\sqrt{2}$，点P为AB上一点，将△APE沿直线PE翻折得到△GPE，若PG⊥BE于点F，则BF=5-$\frac{5\sqrt{26}}{26}$．

Answer 1

分析 在BE上截取BM=AE，连接OM，OE，AC与BE交于点K，由△OAE≌△OBM得EO=OM，∠AOE=∠BOM，所以∠EOM=∠AOB=90°，得EM=$\sqrt{2}$OE，设AE=BM=a，在RT△ABE中，由AB²=AE²+BE²求出a，再证明AP=AE，利用$\frac{PB}{AB}=\frac{BF}{BE}$即可求出BF．

解答 解：如图，在BE上截取BM=AE，连接OM，OE，AC与BE交于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=OB，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∴∠EAK+∠AKE=90°，∠BKO+∠OBM=90°，
∵∠BKO=∠AKE，
∴∠EAO=∠OBM，
在△OAE和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBM}\\{AE=MB}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBM，
∴OE=OM，∠AOE=∠BOM，
∴∠EOM=∠AOB=90°，
∴EM=$\sqrt{2}$OE=4，设AE=BM=a，
在RT△ABE中，∵AB²=AE²+BE²，
∴26=a²+（a+4）²，
∵a＞0，
∴a=1，
∵△PEG是由△PEA翻折，
∴PA=PG，∠APE=∠GPE，
∵PG⊥EB，AE⊥EB，
∴AE∥PG，
∴∠AEP=∠GPE=∠APE，
∴AP=AE=1，PB=$\sqrt{26}-1$，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BF}{BE}$，
∴$\frac{\sqrt{26}-1}{\sqrt{26}}=\frac{BF}{5}$，
∴BF=5-$\frac{5\sqrt{26}}{26}$．
故答案为5-$\frac{5\sqrt{26}}{26}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是利用旋转的思想添加辅助线，构造全等三角形，属于中考填空题的压轴题．